Mampir Merene Yo: Barisan dan Deret Bilangan

A. Barisan dan Deret Bilangan

1. Barisan Bilangan

Misalnya, anda menyaksikan suatu konser musik di sebuah gedung pertunjukan. Di dalam gedung tersebut terdapat banyak kursi. Pada barisan pertama terdapat 10 kursi, barisan kedua 12 kursi, barisan ketiga 14 kursi dan seterusnya. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa banyaknya kursi dalam satu barisan selalu 2 lebihnya dari jumlah kursi pada barisan di depannya.

Banyaknya kursi pada setiap barisan di gedung pertunjukan tersebut dapat dituliskan secara berturut-turut sebagai berikut :

10, 12, 14, 16 ............

Himpunan bilangan-bilangan terurut yang mengikuti pola tertentu disebut dengan barisan bilangan. Setiap bilangan pada suatu barisan bilangan disebut suku barisan dan ilambangkan dengan U. Rumus barisan bilangan dapat ditulis dengan :

U₁, U₂, U₃, .........

Berikut adalah beberapa contoh dari barisan bilangan :

a. Barisan bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, 5, ....

b. Barisan bilangan Ganjil Positif : 1, 3, 5, 7, ....

c. Barisan bilangan Kuadrat : 1, 4, 9, 16, ....

d. Barisan bilangan Segitiga : 1, 3, 6, ....

e. Barisan bilangan Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, ...., dan sebagainya

2. Deret Bilangan

Misalnya diberikan suatu barisan bilangan berikut U₁, U₂, U₃,..

Jika setiap suku dari barisan tersebut dijumlahkan, yaitu U₁ + U₂ + U₃, ..... Maka penjumlahan suku-suku sampai deret bilangan juga merupakan pnjumlahan suku-suku sampai tak hingga banyaknya. Jumlah n suku pertama suatu barisan dilambangkan dengan S, dan dirumuskan sebagai berikut :

Sn = U₁ + U₂ + U₃ + .... + U_n

Contoh :

Tentukan deret bilangan dari barisan bilangan berikut unntuk n suku pertama :

a. 1, 3, 5, 7 ...

b. Barisan bilangan genap

Solution

a. 1 + 3 + 5 + 7+ .... + (2_{n – 1})

b. 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2_n

B. Barisan dan Deret Aritmetika

1. Barisan Aritmetika

Suatu barisan bilangan

U₁, U₂, U₃, ....., Un – 1, Un disebut

Barisan Aritmetika jika berlaku

U_n – U_{n – 1} = U₃ – U₂ = U₂ – U₁

Selisih antara dua suku yang beurutan disebut beda barisan dilambangkan dengan b dan dirumuskan sebagai berikut :

B = U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = ..... U_n – U_{n
– 1}

Berdasarkan uraian tersebut, suku ke – n dari barisan Aritmetika dirumuskan sebagai berikut :

U_n = a + (n – 1) b

Dengan a = suku pertama dan b = beda

Setiap suku yang berurutan

2. Deret Aritmetika

Contoh :

Tentukan rumus suku ke – n dari barisan bilangan berikut :

8, 3, -2, -7

Solution

Barisan tersebut merupakan barisan Aritmetika dengna beda b = 5 dan a = 8 dengan demikian, rumus suku ke – n barisan tersebut adalah :

U_n = a + (n – 1) b

U_n = 8 + (n – 1) (5)

U_n = 8 – 5_n + 5

U_n = 13 – 5_n

Misalnya, U₁, U₂, U₃, ..... U_n adalah barisan Aritmetika penjumlahan setiap suku barisan tersebut, yaitu U₁ + U₂ + U₃ + .... + U_n disebut deret Aritmetika

Jumlah _n suku pertama dari suatu barisan Aritmetika adalah

S_n =

Dengan a = suku pertama dari b = beda

Oleh karena suku ke – n barisan Aritmetika dinyakan sebagai U_n = a + (n – 1) b, rumus S_n untuk barisan Aritmetika dapat juga dinyatakan sebagai berikut :

S_n = =

C. Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Untuk memahami barisan Geometri, perhatikan barisan berikut :

a. 2, 4, 8, 16, ...

b. 54, 18, 6, 2 ....

Pada barisan bilangan (a), Anda dapat melihat bahwa suku berikutnya diperoleh dari hasil perkalian suku sebelumnya dengan demikian pula pada barisan bilangan (b), suku berikutnya di peroleh dari hasil perkalian suk sebelumnya dengan

. Barisan yang suku berikutnya merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan suat bilangan tetap (konstan) disebut barisan geometri.

Barisan geometri dapat dirumuskan

Suatu barisan U1, U2, U3, ..... Un – 1, Un, .... disebut

Barisan geometri jika

Berdasarkan uraian tersebut, suku ke – n dari barisan Geometri dirumuskan sebagai berikut :

Un = ar^{(n
– 1)}

2. Deret Aritmetika

Setiap suku pada suatu barisan Geometri dijumlahkan maka penjumlahan tersebut disebut deret Geometri, oleh sebab itu, deret Geometri dapat dinyatakan dalam bentuk berikut :

a + ar + ar² + ar³ + .... + ar^n-1

Sn =

Jumlah n suku pertama dari suatu deret Geometri adalah Sn =

, untuk r > l atau Sn =

, untuk r < l dengan a = suku pertama dan r = rasio =

, dengan r ¹ l.

3. Deret Geometri Tak Hingga

Dapat dirumuskan dengan :

Sn =

D. Perhitungan Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, dan Anuitas

1. Bunga Tunggal

Bunga tunggal didalam bunga yang dibayarkan pada setiap akhir jangka waktu tertentu dengan besar modal yang dijadikan dasar perhitungan bunga untuk setiap periode berikutnya selalu tetap dan jumlahnya sama.

Dengan demikian jumlah bunga yang harus dibayar selama 5 thun dapat dicari menggunakan rumus jumlah deret Aritmetika berikut :

Sn =

Sn = 30.000.000

2. Bunga Majemuk

Adalah bunga yang dihitung atas dasar jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. Dengan kata lain, bunga majemuk adalah bunga yang menghasilkan bunga.

Bunga Majemuk dapat dirumuskan dengan :