.post img:hover { -moz-trnasform: scale(1.3) ; -webkit-transform: scale(1.3); -o-transform: scale(1.3) ; -ms-transform: scale(1.2) ; transform: scale(1.3) ;}

Barisan dan Deret Bilangan

10:26 |



A.  Barisan dan Deret Bilangan
1.   Barisan Bilangan
Misalnya, anda menyaksikan suatu konser musik di sebuah gedung pertunjukan. Di dalam gedung tersebut terdapat banyak kursi. Pada barisan pertama terdapat 10 kursi, barisan kedua 12 kursi, barisan ketiga 14 kursi dan seterusnya. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa banyaknya kursi dalam satu barisan selalu 2 lebihnya dari jumlah kursi pada barisan di depannya.
Banyaknya kursi pada setiap barisan di gedung pertunjukan tersebut dapat dituliskan secara berturut-turut sebagai berikut :
10, 12, 14, 16 ............
Himpunan bilangan-bilangan terurut yang mengikuti pola tertentu disebut dengan barisan bilangan. Setiap bilangan pada suatu barisan bilangan disebut suku barisan dan ilambangkan dengan U. Rumus barisan bilangan dapat ditulis dengan :

           U1, U2, U3, .........

Berikut adalah beberapa contoh dari barisan bilangan :
a.   Barisan bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, 5, ....
b.   Barisan bilangan Ganjil Positif : 1, 3, 5, 7, ....
c.   Barisan bilangan Kuadrat : 1, 4, 9, 16, ....
d.   Barisan bilangan Segitiga : 1, 3, 6, ....
e.   Barisan bilangan Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, ...., dan sebagainya

2.   Deret Bilangan
Misalnya diberikan suatu barisan bilangan berikut U1, U2, U3,..
Jika setiap suku dari barisan tersebut dijumlahkan, yaitu U1 + U2 + U3, ..... Maka penjumlahan suku-suku sampai deret bilangan juga merupakan pnjumlahan suku-suku sampai tak hingga banyaknya. Jumlah n suku pertama suatu barisan dilambangkan dengan S, dan dirumuskan sebagai berikut :

  Sn = U1 + U2 + U3 + .... + Un

Contoh :
Tentukan deret bilangan dari barisan bilangan berikut unntuk n suku pertama :
a.   1, 3, 5, 7 ...
b.   Barisan bilangan genap

Solution
a.   1 + 3 + 5 + 7+ .... + (2n – 1)
b.   2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2n

B.  Barisan dan Deret Aritmetika
1.   Barisan Aritmetika
Suatu barisan bilangan
U1, U2, U3, ....., Un – 1, Un disebut
Barisan Aritmetika jika berlaku
Un – Un – 1 = U3 – U2 = U2 – U1

Selisih antara dua suku yang beurutan disebut beda barisan dilambangkan dengan b dan dirumuskan sebagai berikut :
   B = U2 – U1 = U3 – U2 = ..... Un – Un – 1

Berdasarkan uraian tersebut, suku ke – n dari barisan Aritmetika dirumuskan sebagai berikut :
   Un = a + (n – 1) b

Dengan a = suku pertama dan b = beda
Setiap suku yang berurutan


2.   Deret Aritmetika
Contoh :
Tentukan rumus suku ke – n dari barisan bilangan berikut :
8, 3, -2, -7
Solution
Barisan tersebut merupakan barisan Aritmetika dengna beda b = 5 dan a = 8 dengan demikian, rumus suku ke – n barisan tersebut adalah :

Un = a + (n – 1) b
Un = 8 + (n – 1) (5)
Un = 8 – 5n + 5
Un = 13 – 5n
Misalnya, U1, U2, U3, ..... Un adalah barisan Aritmetika penjumlahan setiap suku barisan tersebut, yaitu U1 + U2 + U3 + .... + Un disebut deret Aritmetika
Jumlah n suku pertama dari suatu barisan Aritmetika adalah
Sn =
Dengan a = suku pertama dari b = beda

Oleh karena suku ke – n barisan Aritmetika dinyakan sebagai Un = a + (n – 1) b, rumus Sn untuk barisan Aritmetika dapat juga dinyatakan sebagai berikut :
   Sn = =

C.  Barisan dan Deret Geometri
1.   Barisan Geometri
Untuk memahami barisan Geometri, perhatikan barisan berikut :
a.   2, 4, 8, 16, ...
b.   54, 18, 6, 2 ....
Pada barisan bilangan (a), Anda dapat melihat bahwa suku berikutnya diperoleh dari hasil perkalian suku sebelumnya dengan demikian pula pada barisan bilangan (b), suku berikutnya di peroleh dari hasil perkalian suk sebelumnya dengan . Barisan yang suku berikutnya merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan suat bilangan tetap (konstan) disebut barisan geometri.

Barisan geometri dapat dirumuskan
Suatu barisan U1, U2, U3, ..... Un – 1, Un, .... disebut
Barisan geometri jika

Berdasarkan uraian tersebut, suku ke – n dari barisan Geometri dirumuskan sebagai berikut :
   Un = ar(n – 1)

2.   Deret Aritmetika
Setiap suku pada suatu barisan Geometri dijumlahkan maka penjumlahan tersebut disebut deret Geometri, oleh sebab itu, deret Geometri dapat dinyatakan dalam bentuk berikut :
  a + ar + ar2 + ar3 + .... + arn-1

Sn =

Jumlah n suku pertama dari suatu deret Geometri adalah Sn = , untuk r > l atau Sn = , untuk r < l dengan a  = suku pertama dan r = rasio = , dengan r ¹ l.


3.   Deret Geometri Tak Hingga

Dapat dirumuskan dengan :
  Sn =

D.  Perhitungan Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, dan Anuitas
1.   Bunga Tunggal
Bunga tunggal didalam bunga yang dibayarkan pada setiap akhir jangka waktu tertentu dengan besar modal yang dijadikan dasar perhitungan bunga untuk setiap periode berikutnya selalu tetap dan jumlahnya sama.

Dengan demikian jumlah bunga yang harus dibayar selama 5 thun dapat dicari menggunakan rumus jumlah deret Aritmetika berikut :

Sn =
Sn =
Sn =
Sn =
Sn = 30.000.000

2.   Bunga Majemuk
Adalah bunga yang dihitung atas dasar jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. Dengan kata lain, bunga majemuk adalah bunga yang menghasilkan bunga.

Bunga Majemuk dapat dirumuskan dengan :
  Un = arn -1
3.   Anuitas
Adalah salah satu cara pembayaran atau penerimaan yang secara berurutan dalam jumlah tetap dengan jangka waktu yang tetap pula.

Besarnya Anuitas (A) dapat dihitung sebagai berikut :
A =

Jika iM dinyatakan dengan a dan i + l dinyatakan dengan r, maka rumus Anuitas dapat ditulis dengan ;
   A =


0 comments:

Post a Comment